Exercices de Maths Corrigés
Pratiquez et améliorez vos compétences en mathématiques
Limite d'une fonction rationnelle
MoyenCalculer la limite: lim(x→2) (x² - 4)/(x - 2)
Correction:
1. Factoriser le numérateur: x² - 4 = (x - 2)(x + 2)
2. Simplifier: (x - 2)(x + 2)/(x - 2) = x + 2 (pour x ≠ 2)
3. Calculer la limite: lim(x→2) (x + 2) = 2 + 2 = 4
4. Solution: La limite est égale à 4
Dérivée et tableau de variation
DifficileSoit f(x) = x³ - 3x² + 4. Calculer f'(x) et dresser le tableau de variation de f.
Correction:
1. Dérivée: f'(x) = 3x² - 6x
2. Factoriser: f'(x) = 3x(x - 2)
3. Étude du signe: f'(x) > 0 quand x ∈ ]-∞, 0[ ∪ ]2, +∞[
4. f'(x) < 0 quand x ∈ ]0, 2[
5. Tableau de variation: f croissante sur ]-∞, 0], décroissante sur [0, 2], croissante sur [2, +∞]
Suite arithmétique
MoyenSoit (uₙ) une suite arithmétique de raison r = 3 et de premier terme u₀ = 5. Calculer u₁₀ et la somme S = u₀ + u₁ + ... + u₁₀.
Correction:
1. Formule du terme général: uₙ = u₀ + n×r
2. u₁₀ = 5 + 10×3 = 5 + 30 = 35
3. Formule de la somme: S = (nombre de termes)×(premier terme + dernier terme)/2
4. S = 11×(5 + 35)/2 = 11×40/2 = 11×20 = 220
5. Solution: u₁₀ = 35, S = 220
Calcul de primitive
MoyenTrouver une primitive de f(x) = 3x² + 2x - 5
Correction:
1. Primitive de xⁿ: xⁿ⁺¹/(n+1)
2. Primitive de 3x²: 3×(x³/3) = x³
3. Primitive de 2x: 2×(x²/2) = x²
4. Primitive de -5: -5x
5. Solution: F(x) = x³ + x² - 5x + C, où C est une constante
Équation logarithmique
MoyenRésoudre l'équation: ln(x+1) - ln(x-1) = 1
Correction:
1. Utiliser la propriété: ln(a) - ln(b) = ln(a/b)
2. Équation devient: ln((x+1)/(x-1)) = 1
3. Exponentier: (x+1)/(x-1) = e¹ = e
4. Résoudre: x+1 = e(x-1) ⇒ x+1 = ex - e ⇒ x - ex = -e - 1 ⇒ x(1-e) = -(e+1)
5. Solution: x = (e+1)/(e-1) (avec x > 1 pour que les ln soient définis)
Module et argument
MoyenSoit z = 1 + i√3. Calculer le module et l'argument de z.
Correction:
1. Module: |z| = √(a² + b²) = √(1² + (√3)²) = √(1 + 3) = √4 = 2
2. Argument: θ = arctan(b/a) = arctan(√3/1) = arctan(√3)
3. Comme a>0 et b>0, z est dans le premier quadrant
4. arctan(√3) = π/3 (60°)
5. Solution: |z| = 2, arg(z) = π/3
Limite à l'infini
MoyenCalculer la limite: lim(x→+∞) (3x² + 2x - 5)/(2x² - x + 1)
Correction:
1. Factoriser par le terme de plus haut degré au numérateur et dénominateur
2. = lim(x→+∞) [x²(3 + 2/x - 5/x²)] / [x²(2 - 1/x + 1/x²)]
3. Simplifier x²: = lim(x→+∞) (3 + 2/x - 5/x²)/(2 - 1/x + 1/x²)
4. Quand x→+∞, 2/x, 5/x², 1/x, 1/x² → 0
5. Solution: La limite vaut 3/2
Tangente à une courbe
MoyenDéterminer l'équation de la tangente à la courbe de f(x) = x² - 3x + 2 au point d'abscisse x = 1.
Correction:
1. Calculer f(1): f(1) = 1² - 3×1 + 2 = 0. Le point est (1, 0)
2. Calculer la dérivée: f'(x) = 2x - 3
3. Calculer f'(1): f'(1) = 2×1 - 3 = -1 (coefficient directeur)
4. Équation de la tangente: y - f(1) = f'(1)(x - 1)
5. Solution: y - 0 = -1(x - 1) ⇒ y = -x + 1