Continuité d'une fonction numérique - 2BAC

On a \( f(3) = 6 \).

Calculons la limite de \( f(x) \) lorsque \( x \) tend vers \( 3 \) :

Puisque \( \lim_{x \to 3} f(x) = f(3) \), la fonction \( f \) est continue en \( 3 \).

On a \( f(2) = -\dfrac{3}{4} \).

Calculons la limite de \( f(x) \) lorsque \( x \) tend vers \( 2 \). Pour \( x \neq 2 \), on rationalise l'expression :

Factorisons le numérateur :

Ainsi,

Donc,

Puisque \( \lim_{x \to 2} f(x) = f(2) \), la fonction \( f \) est continue en \( 2 \).

On a \( f(0) = 0^3 + \sqrt{0} - 2 = -2 \).

Calculons les limites à gauche et à droite en \( 0 \) :

• Limite à droite (pour \( x > 0 \)) : \[ \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (x^3 + \sqrt{x} - 2) = 0 + 0 - 2 = -2 = f(0). \] Ainsi, \( f \) est continue à droite en \( 0 \).
• Limite à gauche (pour \( x < 0 \)) : \[ \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (1 - 3x) = 1 - 0 = 1. \] Or, \( \lim_{x \to 0^-} f(x) = 1 \neq f(0) = -2 \), donc \( f \) n'est pas continue à gauche en \( 0 \).

Puisque la limite à gauche n'est pas égale à \( f(0) \), la fonction \( f \) n'est pas continue en \( 0 \).

Pour étudier la continuité de \( f \) en \( x_0 = 2 \), nous devons calculer les limites à gauche et à droite de \( f(x) \) lorsque \( x \) tend vers 2, et les comparar à \( f(2) = \frac{1}{4} \).

1. Limite à droite en \( x = 2 \) (pour \( x > 2 \)) :

Pour \( x > 2 \), on a \( |x - 2| = x - 2 \).

On a :

2. Limite à gauche en \( x = 2 \) (pour \( x < 2 \)) :

Pour \( x < 2 \), on a \( |x - 2| = 2 - x \).

On a :

3. Conclusion :

• \( \lim_{x \to 2^+} f(x) = \frac{1}{4} = f(2) \), donc \( f \) est continue à droite en \( 2 \).
• \( \lim_{x \to 2^-} f(x) = -\frac{1}{4} \neq f(2) \), donc \( f \) n'est pas continue à gauche en \( 2 \).

Par conséquent, \( f \) n'est pas continue en \( 2 \) (car la limite à gauche n'est pas égale à \( f(2) \)).

\( f \) est continue en \( 1 \) si et seulement si :

On a \( f(1) = \sqrt{1 - 1} + 2 = 0 + 2 = 2 \).

• Limite à droite : \[ \lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (\sqrt{x - 1} + 2) = 0 + 2 = 2 = f(1). \]
• Limite à gauche : \[ \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (3x^2 + bx + 1) = 3(1)^2 + b(1) + 1 = 3 + b + 1 = 4 + b. \]

Pour que \( f \) soit continue en \( 1 \), il faut que :

Ainsi, \( f \) est continue en \( 1 \) si et seulement si \( b = -2 \).

1) Détermination de \( D_f \) :
\( x \in D_f \iff x - 2 \neq 0 \iff x \neq 2 \).
Donc \( D_f = ]-\infty; 2[ \cup ]2; +\infty[ \).

Calcul des limites :

• \( \lim_{x \to +\infty} f(x) = 3 \)
• \( \lim_{x \to -\infty} f(x) = 3 \)
• \( \lim_{x \to 2^+} f(x) = +\infty \)
• \( \lim_{x \to 2^-} f(x) = -\infty \)

2) Détermination des images d'intervalles :

• \( f(]2; +\infty[) = \left]3, +\infty\right[ \)
• \( f(]-\infty; 2[) = \left]-\infty, 3\right[ \)
• \( f([3, 4]) = \left[\dfrac{7}{2}, 4\right] \)

1. La fonction \( f \) est une fonction polynôme donc elle est continue sur \( \mathbb{R} \) et en particulier sur \( I = [-1; +\infty[ \).
2. La fonction \( f \) est une fonction rationnelle donc elle est continue en tout point de \( \mathbb{R} \setminus \{-3\} \); et en particulier sur \( I = ]-\infty; -4] \).
3. La fonction \( f \) est continue sur \( I = ]0; 5] \) car c'est la somme de deux fonctions continues.
4. La fonction \( f \) est continue sur \( \mathbb{R} \) car c'est le quotient de deux fonctions continues.
5. La fonction \( f \) est continue sur \( [1; +\infty[ \) car c'est le produit de deux fonctions continues.

1) Détermination de \( D \) :
On a : \( x \in D \iff (x^2 - 1 \neq 0 \text{ et } x < -1) \text{ ou } (x \geq -1) \)

Donc : \( D = \mathbb{R} \)

2) Étude de la continuité de \( f \) sur \( \mathbb{R} \) :

• Sur \( ]-\infty; -1[ \), \( f \) est continue car c'est une fonction rationnelle continue sur \( \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\} \)
• Sur \( [-1; +\infty[ \), \( f \) est continue car c'est une fonction polynôme continue sur \( \mathbb{R} \)
• Étude en \( x = -1 \):
\[ f(-1) = 2, \quad \lim_{x \to -1^-} f(x) = 2, \quad \lim_{x \to -1^+} f(x) = 2 \]

La fonction \( f \) est continue en \( x = -1 \).

Cas (1) :
On a \( I = [-4,2] \) et \( f(x) = x^2 \).

La fonction carré est continue sur \( \mathbb{R} \), donc elle est continue sur l'intervalle \( I \).

Pour déterminer l'image de \( I \), il suffit de calculer les valeurs de \( f \) aux bornes de l'intervalle ainsi qu'aux points où la dérivée s'annule.

Ainsi, le point critique dans \( I \) est \( x=0 \).

• \( f(-4) = 16 \)
• \( f(0) = 0 \)
• \( f(2) = 4 \)

Donc : \( f([-4,2]) = [0,16] \).

Cas (2) :
On a \( I = [-4,1] \) et \( f(x) = \dfrac{x+1}{x-2} \).

La fonction \( f \) est définie sur \( \mathbb{R}\setminus\{2\} \) et elle est rationnelle, donc continue sur \( I \).

Comme \( (x-2)^2 > 0 \) pour tout \( x\in I \), on a \( f'(x)<0 \).
Donc \( f \) est strictement décroissante sur \( I \).

On calcule :

Donc : \( f([-4,1]) = [-2, \tfrac{1}{2}] \).

Posons \( f(x) = x^5 - 3x + x^2 - 1 \).
La fonction \( f(x) \) est une fonction polynomiale, donc continue sur \( \mathbb{R} \), et en particulier sur l'intervalle \([0,3]\).

Puisque \( f(0) \cdot f(3) < 0 \),
alors, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation admet au moins une solution dans l'intervalle \([0,3]\).

1) Montrons que l’équation \( f(x) = 2 \) admet au moins une solution sur l’intervalle \([0;1]\):

La continuité : \( f: x \mapsto 3x^3 - 5x^2 + 4x + 1 \). \( f \) est une fonction polynôme définie et continue sur \( \mathbb{R} \) et en particulier sur \([0;1]\).

Calcul de \( f(0) \) et \( f(1) \):
On a : \( f(0) = 1 \) et \( f(1) = 3 - 5 + 4 + 1 = 3 \). Alors : \( f(0) \leq 2 \leq f(1) \); donc d’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation \( f(x) = 2 \) admet au moins une solution sur \([0;1]\).

2) Montrons que l’équation \( f(x) = -7 \) admet au moins une solution sur \([-1;0]\):

La fonction \( f \) est continue sur \([-1;0]\) (car c’est une fonction polynôme). Et on a : \( f(0) = 1 \) et \( f(-1) = -11 \). Alors : \( f(-1) \leq -7 \leq f(0) \). Donc d’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation \( f(x) = -7 \) admet au moins une solution sur \([-1;0]\).

3) Montrons que la courbe de \( f \) coupe l’axe des abscisses au moins en un point dont l’abscisse appartient à l’intervalle \([-1;0]\):

En utilisant à nouveau le théorème des valeurs intermédiaires, on note que \( f(-1) = -11 \) et \( f(0) = 1 \). Comme \( f(-1) \leq 0 \leq f(0) \), il existe au moins une valeur \( x \in [-1, 0] \) telle que \( f(x) = 0 \). Donc, la courbe de \( f \) coupe l’axe des abscisses au moins une fois dans l’intervalle \([-1, 0]\).

1) Montrer que l’équation \( (E_1): 2x\sqrt{x+3} - x^2 - 3x + 5 = 0 \) admet au moins une solution sur \([3;4]\):

On pose : \( f(x) = 2x \sqrt{x+3} - x^2 - 3x + 5 \), \( x \geq -3 \). L'équation \( (E_1) \) devient : \( f(x) = 0 \).

La continuité : La fonction \( x \mapsto x + 3 \) est continue et positive sur \([-3; +\infty[\), donc la fonction \( u: x \mapsto \sqrt{x+3} \) est continue sur \([-3; +\infty[\), et en particulier sur \([3;4]\). Les deux fonctions \( v: x \mapsto 2x \) et \( w: x \mapsto -x^2 - 3x + 5 \) sont continues sur \(\mathbb{R}\) et en particulier sur l'intervalle \([3;4]\). Donc la fonction \( f = uv + w \) est continue sur \([3;4]\).

Calcul de \( f(3) \) et \( f(4) \):
On a :
\( f(3) = 6\sqrt{6} - 9 - 9 + 5 = -13 + 6\sqrt{6} \approx 1,7 \) et
\( f(4) = 8\sqrt{7} - 16 - 12 + 5 = -23 + 8\sqrt{7} \approx -1,8 \). Donc, \( f(3) > 0 \) et \( f(4) < 0 \), d'où :
\( f(3) \times f(4) < 0 \). Par le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation \( f(x) = 0 \) admet au moins une solution sur \([3;4]\).

2) Montrer que l’équation \( (E_2): 3|x+1| + \sqrt{x+2} - x^3 = 4 \) admet au moins une solution sur \([1;2]\):

On pose : \( g(x) = 3|x+1| + \sqrt{x+2} - x^3 \), \( x \geq -2 \). L'équation \( (E_2) \) devient : \( g(x) = 4 \).

La continuité : - La fonction \( x \mapsto x + 1 \) est continue sur \(\mathbb{R}\), donc \( u: x \mapsto |x+1| \) est continue sur \(\mathbb{R}\) et en particulier sur \([1;2]\). - La fonction \( x \mapsto x + 2 \) est continue et positive sur \([-2; +\infty[\), donc \( v: x \mapsto \sqrt{x+2} \) est continue sur \([-2; +\infty[\) et en particulier sur \([1;2]\). - La fonction \( w: x \mapsto -x^3 \) est continue sur \(\mathbb{R}\), et donc \( g = 3u + v + w \) est continue sur l'intervalle \([1;2]\).

Calcul de \( g(1) \) et \( g(2) \):
On a :
\( g(1) = 3|2| + \sqrt{3} - 1 = 5 + \sqrt{3} \approx 6,7 \) et
\( g(2) = 3|3| + \sqrt{5} - 8 = 1 + \sqrt{5} \approx 3,2 \). Donc, \( g(2) < 4 < g(1) \) (4 est compris entre \( g(2) \) et \( g(1) \)). Par le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation \( g(x) = 4 \) admet au moins une solution sur \([1;2]\).

3) Montrer que l’équation \( (E_3): \sqrt{x^2+1} - 2x^3 = x \) admet au moins une solution sur \([0;1]\):

On pose : \( h(x) = \sqrt{x^2 + 1} - 2x^3 - x \). L'équation \( (E_3) \) devient : \( h(x) = 0 \).

La continuité : - La fonction \( x \mapsto x^2 + 1 \) est continue et positive sur \(\mathbb{R}\). Donc \( u: x \mapsto \sqrt{x^2 + 1} \) est continue sur \(\mathbb{R}\) et en particulier sur \([0;1]\). - La fonction \( v: x \mapsto -2x^3 - x \) est continue sur \(\mathbb{R}\), et donc \( h = u + v \) est continue sur \([0;1]\).

Calcul de \( h(0) \) et \( h(1) \):
On a :
\( h(0) = 1 \) et \( h(1) = \sqrt{2} - 3 \approx -1,6 \). Donc, \( h(1) < 0 < h(0) \), soit \( h(0) \times h(1) < 0 \). Par le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation \( h(x) = 0 \) admet au moins une solution sur \([0;1]\).