Limites et Dérivation

Les limites

Limites en $\pm \infty$
  • $\lim\limits_{x \to +\infty} x = +\infty$
  • $\lim\limits_{x \to +\infty} x^2 = +\infty$
  • $\lim\limits_{x \to +\infty} x^3 = +\infty$
  • Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $\lim\limits_{x \to +\infty} x^n = +\infty$
  • $\lim\limits_{x \to +\infty} \sqrt{x} = +\infty$
  • $\lim\limits_{x \to -\infty} x = -\infty$
  • $\lim\limits_{x \to -\infty} x^2 = +\infty$
  • $\lim\limits_{x \to -\infty} x^3 = -\infty$
  • Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $\lim\limits_{x \to -\infty} x^n = \begin{cases} +\infty & \text{si } n \text{ est pair} \\ -\infty & \text{si } n \text{ est impair} \end{cases}$
  • $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{1}{x^n} = 0$
  • $\lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{1}{x^n} = 0$ \quad (où $n \in \mathbb{N}^*$)
  • $\lim\limits_{x \to 0^+} \dfrac{1}{x^n} = +\infty$
  • $\lim\limits_{x \to 0^-} \dfrac{1}{x^n} = \begin{cases} +\infty & \text{si } n \text{ est pair} \\ -\infty & \text{si } n \text{ est impair} \end{cases}$
Limite d'un Polynôme
  • $\lim_{x \to +\infty} (3x^9 - 2x + 3) = \lim_{x \to +\infty} 3x^9 = +\infty$
  • $\lim_{x \to -\infty} (-2x^7 + 3x - 3) = \lim_{x \to -\infty} -2x^7 = +\infty$
Fonction Rationnelle
  • $\lim_{x \to +\infty} \frac{7x^2 + x - 9}{2x^2 - x - 1} = \lim_{x \to +\infty} \frac{7x^2}{2x^2} = \frac{7}{2}$
  • $\lim_{x \to -\infty} \frac{3x - 1}{x^2 + x - 3} = \lim_{x \to -\infty} \frac{3x}{x^2} = \lim_{x \to -\infty} \frac{3}{x} = 0$
  • $\lim_{x \to +\infty} \frac{1 - x^2}{1 + x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{-x^2}{x} = \lim_{x \to +\infty} -x = -\infty$
Calculer les limites suivantes
  • $\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x^4 - x^3 + 2}$
  • $\lim_{x \to -\infty} \sqrt{x^2 - x - 1}$
  • $\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x^2 + x} - x$
  • $\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x^2 + x} + x$
  • $\lim_{x \to -\infty} \sqrt{x^2 + x} - x$
  • $\lim_{x \to -\infty} \sqrt{x^2 + x} + x$
  • $\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x + 1} - \sqrt{x}$
  • $\lim_{x \to -\infty} \sqrt{9x^2 - 1} + x$
  • $\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{x + 2}$
Limites en un point
  • $ \lim_{x \to 1} \frac{2x^3 + x^2 - 3}{x + 1} $
  • $\lim_{x \to 2} \frac{x^2-4}{x-2}$
  • $ \lim_{x \to 3} \frac{x^2-9}{x^3-27}$
  • $\lim_{x \to 1} \frac{2x^3+x^2-3}{x-1} $
  • $ \lim_{x \to 5} \frac{\sqrt{x - 1} - 2}{x - 5} $
  • $\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sqrt{1 + x} - 1}$
  • $ \lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 3}{x + 1} $
  • $ \lim_{x \to 1^-} \frac{2x + 3}{x - 1} $
  • $\lim_{x \to 1^-} \frac{x^2 - x - 3}{x^2 - 3x + 2} $
  • $\lim_{x \to 2^+} \frac{x^2 - x - 3}{x^2 + 3x - 2} $
  • $ \lim_{x \to 1^+} \left(x - \frac{1}{\sqrt{x - 1}}\right)$
  • $\lim_{x \to +\infty} \left(x + \sqrt{x}\right)$

Dérivation

Calculer \( f'(x) \) en précisant les domaines de définition de \( f \) et \( f' \)
  1. \( f(x) = 4x^3 - 5x^2 + x - 1 \)
  2. \( f(x) = 5x^3 - \dfrac{1}{x} + 3\sqrt{x} \)
  3. \( f(x) = (x^2 + 1)(x^3 - 2x) \)
  4. \( f(x) = \dfrac{2x^2 - 3}{x^2 + 7} \)
  5. \( f(x) = \dfrac{2x - 1}{x + 1} \)
  6. \( f(x) = -x + 2 + \dfrac{2}{3x} \)
  7. \( f(x) = \dfrac{1}{x + x^2} \)
Déterminer la fonction dérivée de \( f \)
  1. \( f(x) = 2x^3 - \sqrt{x} + 1 \)
  2. \( f(x) = (x^2 - 3x)^2 \)
  3. \( f(x) = \dfrac{3}{2x + 5} \)
  4. \( f(x) = \dfrac{x^2 - 5x}{x^2 + x - 2} \)
  5. \( f(x) = (2x + 1)^2 \)
  6. \( f(x) = \sqrt{x}(5x - 3) \)
  7. \( f(x) = \dfrac{5x + 1}{-x + 2} \)
  8. \( f(x) = \left( \dfrac{5x + 1}{-x + 2} \right)^2 \)
Déterminer le sens de variation des fonctions suivantes
  1. \( f \) définie sur \( \mathbb{R} \) par \( f(x) = -3x^2 + 12x - 5 \)
  2. \( g \) définie sur \( \mathbb{R} \) par \( g(x) = x^3 - 9x^2 - 21x + 4 \)
  3. \( h \) définie sur \( ]-\infty; 1[ \cup ]1; +\infty[ \) par \( h(x) = \dfrac{5x - 3}{x - 1} \)
  4. \( i \) définie sur \( ]-\infty; 0[ \cup ]0; +\infty[ \) par \( i(x) = \dfrac{x^3 - 2x - 1}{x^3} \)
  5. \( j \) définie sur \( [0; +\infty[ \) par \( j(x) = \dfrac{\sqrt{x}}{x + 1} \)
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