Suites numériques

I. Rappels

Activité 1:

On considère la suite numérique \( (u_n) \) définie par :

\( \begin{align*} u_1 &= 0 \\ u_{n+1} &= \frac{25}{10-u_n}, \, n \in \mathbb{N}^* \end{align*} \)

1. Calculer \( u_1, u_2 \).
2. Vérifier que \( 5 - u_{n+1} = \frac{5(5-u_n)}{5+(5-u_n)} \) pour tout \( n \in \mathbb{N}^* \) et montrer par récurrence que \( 5 - u_n > 0 \) pour tout \( n \in \mathbb{N}^* \).
3. On considère \( (v_n) \) la suite numérique définie par \( v_n = \frac{5}{5-u_n} \).
   1. Montrer que \( (v_n) \) est une suite arithmétique en déterminant sa raison.
   2. Déterminer \( v_n \) en fonction de \( n \).
   3. Vérifier que \( u_n = \frac{5v_n-5}{v_n} \) pour tout \( n \in \mathbb{N}^* \).
   4. En déduire l'expression de \( u_n \) en fonction \( n \).
   5. Calculer la somme \( S_n \) en fonction de \( n \) où : \( S_n = v_0 + v_1 + v_2 + \cdots + v_n \).

Activité 2:

On considère la suite numérique \( (u_n) \) définie par :

\( \begin{align*} u_0 &= 0 \\ u_{n+1} &= \frac{2u_n+3}{u_n+4}, \, n \in \mathbb{N} \end{align*} \)

1. Calculer \( u_1, u_2 \).
2. Montrer par récurrence que \( (\forall n \in \mathbb{N}^*) \): \( 0 < u_n < 1 \).
3. Montrer que \( (u_n) \) est croissante.
4. On considère \( (v_n) \) la suite numérique définie par \( v_n = \frac{u_n-1}{u_n+3} \).
   1. Montrer que \( (v_n) \) est une suite géométrique en déterminant sa raison.
   2. Déterminer \( v_n \) en fonction de \( n \) et en déduire l'expression de \( u_n \) en fonction \( n \).
   3. Calculer la somme \( S_n \) en fonction de \( n \) où : \( S_n = v_0 + v_1 + v_2 + \cdots + v_n + 5 \).

	Suite géométrique	Suite arithmétique
Définition	\( u_{n+1} = q u_n \)	\( u_{n+1} = u_n + r \)
Terme général	\( u_n = u_p \times q^{(n-p)} \)	\( u_n = u_p + (n-p)r \)
Somme des termes consécutifs	\( S_n = u_p \times \frac{1 - q^{(n-p+1)}}{1 - q} \)	\( S_n = (n-p+1)\frac{(u_p + u_n)}{2} \)
\( b^2 = ac \)	\( 2b = a + c \)

II. Limite d'une suite

Définition :

Soient \( (u_n) \) une suite numérique et \( l \) un nombre réel. On dit que \( l \) est la limite de \( (u_n) \), et on écrit \( \lim_{n \to +\infty} u_n = l \) ou plus simplement \( \lim u_n = l \), si tout intervalle ouvert centré en \( l \) contient tous les termes de la suite \( (u_n) \) à partir d'un certain indice.