Exercices Corrigés continuité d'une fonction numerique -2BAC
Cette partie est en construction. Les exercices arriveront progressivement....
Exercices Corrigés continuité d'une fonction numerique -2BAC
Cette partie est en construction. Les exercices arriveront progressivement....
Exercice 1
Soit \( f \) la fonction numérique définie par :
Étudier la continuité de \( f \) en \( 3 \).
On a \( f(3) = 6 \).
Calculons la limite de \( f(x) \) lorsque \( x \) tend vers \( 3 \) :
\[ \lim_{x \to 3} f(x) = \lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3} = \lim_{x \to 3} \frac{(x - 3)(x + 3)}{x - 3} = \lim_{x \to 3} (x + 3) = 6. \]Puisque \( \lim_{x \to 3} f(x) = f(3) \), la fonction \( f \) est continue en \( 3 \).
Exercice 2
Soit \( f \) la fonction numérique définie par :
Étudier la continuité de \( f \) en \( 2 \).
On a \( f(2) = -\dfrac{3}{4} \).
Calculons la limite de \( f(x) \) lorsque \( x \) tend vers \( 2 \). Pour \( x \neq 2 \), on rationalise l'expression :
\[ f(x) = \frac{\sqrt{x+2} - x}{x - 2} = \frac{(\sqrt{x+2} - x)(\sqrt{x+2} + x)}{(x - 2)(\sqrt{x+2} + x)} = \frac{(x+2) - x^2}{(x - 2)(\sqrt{x+2} + x)} = \frac{-x^2 + x + 2}{(x - 2)(\sqrt{x+2} + x)}. \]Factorisons le numérateur :
\[ -x^2 + x + 2 = -(x^2 - x - 2) = -(x - 2)(x + 1). \]Ainsi,
\[ f(x) = \frac{-(x - 2)(x + 1)}{(x - 2)(\sqrt{x+2} + x)} = \frac{-(x + 1)}{\sqrt{x+2} + x}, \quad \text{pour } x \neq 2. \]Donc,
\[ \lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} \frac{-(x + 1)}{\sqrt{x+2} + x} = \frac{-(2 + 1)}{\sqrt{2+2} + 2} = \frac{-3}{2 + 2} = -\frac{3}{4}. \]Puisque \( \lim_{x \to 2} f(x) = f(2) \), la fonction \( f \) est continue en \( 2 \).
Exercice 3
Soit \( f \) la fonction numérique définie par :
Étudier la continuité de \( f \) en \( x_0 = 0 \).
On a \( f(0) = 0^3 + \sqrt{0} - 2 = -2 \).
Calculons les limites à gauche et à droite en \( 0 \) :
- Limite à droite (pour \( x > 0 \)) : \[ \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (x^3 + \sqrt{x} - 2) = 0 + 0 - 2 = -2 = f(0). \] Ainsi, \( f \) est continue à droite en \( 0 \).
- Limite à gauche (pour \( x < 0 \)) : \[ \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (1 - 3x) = 1 - 0 = 1. \] Or, \( \lim_{x \to 0^-} f(x) = 1 \neq f(0) = -2 \), donc \( f \) n'est pas continue à gauche en \( 0 \).
Puisque la limite à gauche n'est pas égale à \( f(0) \), la fonction \( f \) n'est pas continue en \( 0 \).
Exercice 4
Soit \( f \) la fonction définie sur \([-2; +\infty[\) par :
Étudier la continuité de la fonction \( f \) à gauche et à droite au point \( x_0 = 2 \).
Pour étudier la continuité de \( f \) en \( x_0 = 2 \), nous devons calculer les limites à gauche et à droite de \( f(x) \) lorsque \( x \) tend vers 2, et les comparer à \( f(2) = \frac{1}{4} \).
1. Limite à droite en \( x = 2 \) (pour \( x > 2 \)) :
Pour \( x > 2 \), on a \( |x - 2| = x - 2 \).
\[ f(x) = \frac{\sqrt{x+2} - 2}{x - 2}. \]On a :
\[ \lim_{x \to 2^+} f(x) =\lim_{x \to 2^+} \frac{(\sqrt{x+2} - 2)(\sqrt{x+2} + 2)}{(x - 2)(\sqrt{x+2} + 2)} = \lim_{x \to 2^+} \frac{(x+2) - 4}{(x - 2)(\sqrt{x+2} + 2)} = \lim_{x \to 2^+} \frac{x - 2}{(x - 2)(\sqrt{x+2} + 2)} = \lim_{x \to 2^+} \frac{1}{\sqrt{x+2} + 2} = \frac{1}{\sqrt{4} + 2} = \frac{1}{2 + 2} = \frac{1}{4}. \]2. Limite à gauche en \( x = 2 \) (pour \( x < 2 \)) :
Pour \( x < 2 \), on a \( |x - 2| = 2 - x \).
\[ f(x) = \frac{\sqrt{x+2} - 2}{2 - x}. \]On a :
\[ \lim_{x \to 2^-}f(x) =\lim_{x \to 2^-} \frac{(\sqrt{x+2} - 2)(\sqrt{x+2} + 2)}{(2 - x)(\sqrt{x+2} + 2)} = \lim_{x \to 2^-}\frac{(x+2) - 4}{(2 - x)(\sqrt{x+2} + 2)} = \lim_{x \to 2^-} \frac{x - 2}{(2 - x)(\sqrt{x+2} + 2)} = \lim_{x \to 2^-}\frac{-(2 - x)}{(2 - x)(\sqrt{x+2} + 2)} = \lim_{x \to 2^-}\frac{-1}{\sqrt{x+2} + 2} = \frac{-1}{\sqrt{4} + 2} = \frac{-1}{2 + 2} = -\frac{1}{4}. \]3. Conclusion :
- \( \lim_{x \to 2^+} f(x) = \frac{1}{4} = f(2) \), donc \( f \) est continue à droite en \( 2 \).
- \( \lim_{x \to 2^-} f(x) = -\frac{1}{4} \neq f(2) \), donc \( f \) n'est pas continue à gauche en \( 2 \).
Par conséquent, \( f \) n'est pas continue en \( 2 \) (car la limite à gauche n'est pas égale à \( f(2) \)).
Exercice 5
Soit \( f \) une fonction numérique définie par :
Déterminer la valeur de \( b \) pour que \( f \) soit continue en \( 1 \).
\( f \) est continue en \( 1 \) si et seulement si :
\[ \lim_{x \to 1^-} f(x) = f(1) = \lim_{x \to 1^+} f(x). \]On a \( f(1) = \sqrt{1 - 1} + 2 = 0 + 2 = 2 \).
Limite à droite :
\[ \lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (\sqrt{x - 1} + 2) = 0 + 2 = 2 = f(1). \]Limite à gauche :
\[ \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (3x^2 + bx + 1) = 3(1)^2 + b(1) + 1 = 3 + b + 1 = 4 + b. \]Pour que \( f \) soit continue en \( 1 \), il faut que :
\[ 4 + b = 2 \quad \Rightarrow \quad b = -2. \]Ainsi, \( f \) est continue en \( 1 \) si et seulement si \( b = -2 \).
Exercice 6
Étudier la continuité de la fonction \( f \) sur l'intervalle \( I \) dans chacun des cas suivants :
- \( f:x \longmapsto -3x^4 + 5x^2 - x + 2; \quad I = [-1; +\infty[ \)
- \( f:x \longmapsto \dfrac{5x^2 - x + 1}{x + 3}; \quad I = ]-\infty; -4] \)
- \( f:x \longmapsto \sqrt{x} + \dfrac{1}{x}; \quad I = [0; 5] \)
- \( f:x \longmapsto \dfrac{\cos x}{x^2 + 1}; \quad I = \mathbb{R} \)
- \( f:x \longmapsto \sqrt{x} \sin x; \quad I = [1; +\infty[ \)
- La fonction \( f \) est une fonction polynôme donc elle est continue sur \( \mathbb{R} \) et en particulier sur l'intervalle \( I = [-1; +\infty[ \).
- La fonction \( f \) est une fonction rationnelle donc elle est continue en tout point de \( \mathbb{R} \setminus \{-3\} \); et en particulier sur l'intervalle \( I = ]-\infty; -4] \).
- La fonction \( f \) est continue sur l'intervalle \( I = ]0; 5] \) car c'est la somme de deux fonctions continues:
- \( u:x \longmapsto \sqrt{x} \) est continue sur \( [0; +\infty[ \)
- \( v:x \longmapsto \dfrac{1}{x} \) est continue sur \( \mathbb{R}^* \)
- La fonction \( f \) est continue sur \( \mathbb{R} \) car c'est le quotient de deux fonctions continues:
- \( u:x \longmapsto \cos x \) est continue sur \( \mathbb{R} \)
- \( v:x \longmapsto x^2 + 1 \) est continue sur \( \mathbb{R} \) et ne s'annule pas sur \( \mathbb{R} \)
- La fonction \( f \) est continue sur \( [1; +\infty[ \) car c'est le produit de deux fonctions continues:
- \( u:x \longmapsto \sqrt{x} \) est continue sur \( [0; +\infty[ \)
- \( v:x \longmapsto \sin x \) est continue sur \( \mathbb{R} \)
Exercice 7
Soit \( f \) la fonction numérique définie par :
- Déterminer \( D \) l'ensemble de définition de \( f \).
- Étudier la continuité de \( f \) sur \( D \).
1. Détermination de l'ensemble de définition \( D \) :
On a : \( x \in D \iff (x^2 - 1 \neq 0 \text{ et } x < -1) \text{ ou } (x \geq -1) \)
\[ \iff (x \neq -1 \text{ et } x \neq 1 \text{ et } x < -1) \text{ ou } (x \geq -1) \] \[ \iff x < -1 \text{ ou } x \geq -1 \] \[ \iff x \in ]-\infty; +\infty[ \]Donc : \( D = \mathbb{R} \)
2. Étude de la continuité de \( f \) sur \( \mathbb{R} \) :
- Sur \( ]-\infty; -1[ \), \( f \) est continue car c'est une fonction rationnelle continue sur \( \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\} \)
- Sur \( [-1; +\infty[ \), \( f \) est continue car c'est une fonction polynôme continue sur \( \mathbb{R} \)
- Étude en \( x = -1 \) : \begin{align*} f(-1) &= 5(-1)^2 + (-1) - 2 = 2 \\ \lim_{x \to -1^-} f(x) &= \lim_{x \to -1^-} \frac{3x^2 + 2x - 1}{x^2 - 1} = \lim_{x \to -1^-} \frac{(x+1)(3x-1)}{(x-1)(x+1)} = \lim_{x \to -1^-} \frac{3x-1}{x-1} = 2 \\ \lim_{x \to -1^+} f(x) &= \lim_{x \to -1^+} (5x^2 + x - 2) = 2 \end{align*} Les limites à gauche et à droite existent et sont égales à \( f(-1) \), donc \( f \) est continue en \( x = -1 \).