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Exercices avec Solutions

Continuité d'une fonction numérique - 2BAC

Exercices Corrigés

Cette partie est en construction. Les exercices arriveront progressivement...

Exercice 1: Continuité en un point

Soit $ f $ la fonction numérique définie par :

f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2 - 9}{x - 3} & \text{si } x \neq 3, \\ 6 & \text{si } x = 3. \end{cases}

Étudier la continuité de $ f $ en $ 3 $.

On a $ f(3) = 6 $.

Calculons la limite de $ f(x) $ lorsque $ x $ tend vers $ 3 $ :

\lim_{x \to 3} f(x) = \lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3} = \lim_{x \to 3} \frac{(x - 3)(x + 3)}{x - 3} = \lim_{x \to 3} (x + 3) = 6.

Puisque $ \lim_{x \to 3} f(x) = f(3) $, la fonction $ f $ est continue en $ 3 $.

\boxed{f \text{ est continue en } 3}

Exercice 2: Continuité en un point

Soit $ f $ la fonction numérique définie par :

f(x) = \begin{cases} \dfrac{\sqrt{x+2} - x}{x - 2} & \text{si } x \neq 2, \\ -\dfrac{3}{4} & \text{si } x = 2. \end{cases}

Étudier la continuité de $ f $ en $ 2 $.

On a $ f(2) = -\dfrac{3}{4} $.

Calculons la limite de $ f(x) $ lorsque $ x $ tend vers $ 2 $. Pour $ x \neq 2 $, on rationalise l'expression :

f(x) = \frac{\sqrt{x+2} - x}{x - 2} = \frac{(\sqrt{x+2} - x)(\sqrt{x+2} + x)}{(x - 2)(\sqrt{x+2} + x)} = \frac{(x+2) - x^2}{(x - 2)(\sqrt{x+2} + x)} = \frac{-x^2 + x + 2}{(x - 2)(\sqrt{x+2} + x)}.

Factorisons le numérateur :

\[ -x^2 + x + 2 = -(x^2 - x - 2) = -(x - 2)(x + 1). \]

Ainsi,

f(x) = \frac{-(x - 2)(x + 1)}{(x - 2)(\sqrt{x+2} + x)} = \frac{-(x + 1)}{\sqrt{x+2} + x}, \quad \text{pour } x \neq 2.

Donc,

\lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} \frac{-(x + 1)}{\sqrt{x+2} + x} = \frac{-(2 + 1)}{\sqrt{2+2} + 2} = \frac{-3}{2 + 2} = -\frac{3}{4}.

Puisque $ \lim_{x \to 2} f(x) = f(2) $, la fonction $ f $ est continue en $ 2 $.

\boxed{f \text{ est continue en } 2}

Exercice 3: Continuité à Droite et à Gauche

Soit $ f $ la fonction numérique définie par :

f(x) = \begin{cases} x^3 + \sqrt{x} - 2 & \text{si } x \geq 0, \\ 1 - 3x & \text{si } x < 0. \end{cases}

Étudier la continuité de $ f $ en $ x_0 = 0 $.

On a $ f(0) = 0^3 + \sqrt{0} - 2 = -2 $.

Calculons les limites à gauche et à droite en $ 0 $ :

Limite à droite (pour $ x > 0 $) : \[ \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (x^3 + \sqrt{x} - 2) = 0 + 0 - 2 = -2 = f(0). \] Ainsi, $ f $ est continue à droite en $ 0 $.
Limite à gauche (pour $ x < 0 $) : \[ \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (1 - 3x) = 1 - 0 = 1. \] Or, $ \lim_{x \to 0^-} f(x) = 1 \neq f(0) = -2 $, donc $ f $ n'est pas continue à gauche en $ 0 $.

Puisque la limite à gauche n'est pas égale à $ f(0) $, la fonction $ f $ n'est pas continue en $ 0 $.

\boxed{f \text{ n'est pas continue en } 0}

Exercice 4: Continuité à Droite et à Gauche

Soit $ f $ la fonction définie sur $[-2; +\infty[$ par :

f(x) = \begin{cases} \dfrac{\sqrt{x+2}-2}{|x-2|} & \text{si } x \neq 2, \\ \dfrac{1}{4} & \text{si } x = 2. \end{cases}

Étudier la continuité de la fonction $ f $ à gauche et à droite au point $ x_0 = 2 $.

Pour étudier la continuité de $ f $ en $ x_0 = 2 $, nous devons calculer les limites à gauche et à droite de $ f(x) $ lorsque $ x $ tend vers 2, et les comparer à $ f(2) = \frac{1}{4} $.

1. Limite à droite en $ x = 2 $ (pour $ x > 2 $) :

Pour $ x > 2 $, on a $ |x - 2| = x - 2 $.

f(x) = \frac{\sqrt{x+2} - 2}{x - 2}.

On a :

\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} \frac{(\sqrt{x+2} - 2)(\sqrt{x+2} + 2)}{(x - 2)(\sqrt{x+2} + 2)} = \lim_{x \to 2^+} \frac{(x+2) - 4}{(x - 2)(\sqrt{x+2} + 2)} = \lim_{x \to 2^+} \frac{x - 2}{(x - 2)(\sqrt{x+2} + 2)} = \lim_{x \to 2^+} \frac{1}{\sqrt{x+2} + 2} = \frac{1}{\sqrt{4} + 2} = \frac{1}{2 + 2} = \frac{1}{4}.

2. Limite à gauche en $ x = 2 $ (pour $ x < 2 $) :

Pour $ x < 2 $, on a $ |x - 2| = 2 - x $.

f(x) = \frac{\sqrt{x+2} - 2}{2 - x}.

On a :

\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} \frac{(\sqrt{x+2} - 2)(\sqrt{x+2} + 2)}{(2 - x)(\sqrt{x+2} + 2)} = \lim_{x \to 2^-} \frac{(x+2) - 4}{(2 - x)(\sqrt{x+2} + 2)} = \lim_{x \to 2^-} \frac{x - 2}{(2 - x)(\sqrt{x+2} + 2)} = \lim_{x \to 2^-} \frac{-(2 - x)}{(2 - x)(\sqrt{x+2} + 2)} = \lim_{x \to 2^-} \frac{-1}{\sqrt{x+2} + 2} = \frac{-1}{\sqrt{4} + 2} = \frac{-1}{2 + 2} = -\frac{1}{4}.

3. Conclusion :

$ \lim_{x \to 2^+} f(x) = \frac{1}{4} = f(2) $, donc $ f $ est continue à droite en $ 2 $.
$ \lim_{x \to 2^-} f(x) = -\frac{1}{4} \neq f(2) $, donc $ f $ n'est pas continue à gauche en $ 2 $.

Par conséquent, $ f $ n'est pas continue en $ 2 $ (car la limite à gauche n'est pas égale à $ f(2) $).

Exercice 5: Continuité à Droite et à Gauche

Soit $ f $ une fonction numérique définie par :

f(x) = \begin{cases} 3x^2 + bx + 1 & \text{si } x < 1, \\ \sqrt{x - 1} + 2 & \text{si } x \geq 1, \end{cases} \quad \text{avec } b \in \mathbb{R}.

Déterminer la valeur de $ b $ pour que $ f $ soit continue en $ 1 $.

$ f $ est continue en $ 1 $ si et seulement si :

\lim_{x \to 1^-} f(x) = f(1) = \lim_{x \to 1^+} f(x).

On a $ f(1) = \sqrt{1 - 1} + 2 = 0 + 2 = 2 $.

Limite à droite : \[ \lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (\sqrt{x - 1} + 2) = 0 + 2 = 2 = f(1). \]
Limite à gauche : \[ \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (3x^2 + bx + 1) = 3(1)^2 + b(1) + 1 = 3 + b + 1 = 4 + b. \]

Pour que $ f $ soit continue en $ 1 $, il faut que :

4 + b = 2 \quad \Rightarrow \quad b = -2.

Ainsi, $ f $ est continue en $ 1 $ si et seulement si $ b = -2 $.

\boxed{b = -2}

Exercices de Mathématiques avec Solutions

Exercice 6: Image d'un intervalle

Soit $ f $ la fonction définie par $ f(x) = \dfrac{3x - 5}{x - 2} $.

1) Déterminer $ D_f $ et calculer $ \lim_{x \to +\infty} f(x) $, $ \lim_{x \to -\infty} f(x) $, $ \lim_{x \to 2^+} f(x) $, $ \lim_{x \to 2^-} f(x) $.

2) Déterminer $ f(]-\infty, 2[) $, $ f(]2, +\infty[) $ et $ f([3, 4]) $.

1) Détermination de $ D_f $ :
$ x \in D_f \iff x - 2 \neq 0 \iff x \neq 2 $.
Donc $ D_f = ]-\infty; 2[ \cup ]2; +\infty[ $.

Calcul des limites :

$ \lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{3x - 5}{x - 2} = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{3x}{x} = 3 $
$ \lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} \dfrac{3x - 5}{x - 2} = \lim_{x \to -\infty} \dfrac{3x}{x} = 3 $
$ \lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} \dfrac{3x - 5}{x - 2} = \dfrac{1}{0^+} = +\infty $ (car $ x > 2 \Rightarrow x - 2 > 0 $)
$ \lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} \dfrac{3x - 5}{x - 2} = \dfrac{1}{0^-} = -\infty $ (car $ x < 2 \Rightarrow x - 2 < 0 $)

2) Détermination des images d'intervalles :
$ f $ est dérivable sur $ ]-\infty; 2[ $ et $ ]2; +\infty[ $ car c'est une fonction rationnelle.
Pour tout $ x \in D_f $,

f'(x) = \frac{(3)(x-2) - (3x-5)(1)}{(x-2)^2} = \frac{3x - 6 - 3x + 5}{(x-2)^2} = \frac{-1}{(x-2)^2} < 0.

Donc $ f $ est strictement décroissante sur $ ]-\infty; 2[ $ et $ ]2; +\infty[ $.

$ f(]2; +\infty[) = \left] \lim_{x \to +\infty} f(x), \lim_{x \to 2^+} f(x) \right[ = \left]3, +\infty\right[ $
$ f(]-\infty; 2[) = \left] \lim_{x \to 2^-} f(x), \lim_{x \to -\infty} f(x) \right[ = \left]-\infty, 3\right[ $
$ f([3, 4]) = [f(4), f(3)] = \left[ \dfrac{7}{2}, 4 \right] $, car $ f(4) = \dfrac{3 \cdot 4 - 5}{4 - 2} = \dfrac{7}{2} $ et $ f(3) = \dfrac{3 \cdot 3 - 5}{3 - 2} = 4 $

Exercice 7: Continuité sur un intervalle

Étudier la continuité de la fonction $ f $ sur l'intervalle $ I $ dans chacun des cas suivants:

$ f:x \longmapsto -3x^4 + 5x^2 - x + 2; \quad I = [-1; +\infty[ $
$ f:x \longmapsto \dfrac{5x^2 - x + 1}{x + 3}; \quad I = ]-\infty; -4] $
$ f:x \longmapsto \sqrt{x} + \dfrac{1}{x}; \quad I = [0; 5] $
$ f:x \longmapsto \dfrac{\cos x}{x^2 + 1}; \quad I = \mathbb{R} $
$ f:x \longmapsto \sqrt{x} \sin x; \quad I = [1; +\infty[ $

La fonction $ f $ est une fonction polynôme donc elle est continue sur $ \mathbb{R} $ et en particulier sur l'intervalle $ I = [-1; +\infty[ $.
La fonction $ f $ est une fonction rationnelle donc elle est continue en tout point de $ \mathbb{R} \setminus \{-3\} $; et en particulier sur l'intervalle $ I = ]-\infty; -4] $.
La fonction $ f $ est continue sur l'intervalle $ I = ]0; 5] $ car c'est la somme de deux fonctions continues:
- $ u:x \longmapsto \sqrt{x} $ est continue sur $ [0; +\infty[ $
- $ v:x \longmapsto \dfrac{1}{x} $ est continue sur $ \mathbb{R}^* $
Cependant, $ f $ n'est pas définie en $ x = 0 $ (à cause du terme $ \frac{1}{x} $), donc elle est continue sur $ ]0; 5] $.
La fonction $ f $ est continue sur $ \mathbb{R} $ car c'est le quotient de deux fonctions continues:
- $ u:x \longmapsto \cos x $ est continue sur $ \mathbb{R} $
- $ v:x \longmapsto x^2 + 1 $ est continue sur $ \mathbb{R} $ et ne s'annule pas sur $ \mathbb{R} $
La fonction $ f $ est continue sur $ [1; +\infty[ $ car c'est le produit de deux fonctions continues:
- $ u:x \longmapsto \sqrt{x} $ est continue sur $ [0; +\infty[ $
- $ v:x \longmapsto \sin x $ est continue sur $ \mathbb{R} $

Exercice 8: Continuité sur un intervalle

Soit $ f $ la fonction numérique définie par :

f(x) = \begin{cases} \dfrac{3x^2 + 2x - 1}{x^2 - 1}, & x < -1 \\ 5x^2 + x - 2, & x \geq -1 \end{cases}

1) Déterminer $ D $ l'ensemble de définition de $ f $.

2) Étudier la continuité de $ f $ sur $ D $.

1) Détermination de $ D $ :
On a : $ x \in D \iff (x^2 - 1 \neq 0 \text{ et } x < -1) \text{ ou } (x \geq -1) $

\iff (x \neq -1 \text{ et } x \neq 1 \text{ et } x < -1) \text{ ou } (x \geq -1) \] \[ \iff x < -1 \text{ ou } x \geq -1 \] \[ \iff x \in ]-\infty; +\infty[

Donc : $ D = \mathbb{R} $

2) Étude de la continuité de $ f $ sur $ \mathbb{R} $ :

Sur $ ]-\infty; -1[ $, $ f $ est continue car c'est une fonction rationnelle continue sur $ \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\} $
Sur $ [-1; +\infty[ $, $ f $ est continue car c'est une fonction polynôme continue sur $ \mathbb{R} $
Étude en $ x = -1 $: $\begin{align*} f(-1) &= 5(-1)^2 + (-1) - 2 = 2 \\ \lim_{x \to -1^-} f(x) &= \lim_{x \to -1^-} \frac{3x^2 + 2x - 1}{x^2 - 1} = \lim_{x \to -1^-} \frac{(x+1)(3x-1)}{(x-1)(x+1)} = \lim_{x \to -1^-} \frac{3x-1}{x-1} = 2 \\ \lim_{x \to -1^+} f(x) &= \lim_{x \to -1^+} (5x^2 + x - 2) = 2 \end{align*}$ Les limites à gauche et à droite existent et sont égales à $ f(-1) $, donc $ f $ est continue en $ x = -1 $.

La fonction $ f $ est continue sur $ \mathbb{R} $.

Exercice 9: Image d'un intervalle

Déterminer l'image de l'intervalle $ I $ par la fonction $ f $ dans chacun des cas suivants :

$ I = [-4, 2] \quad $ et $ \quad f(x) = x^2 $
$ I = [-4, 1] \quad $ et $ \quad f(x) = \dfrac{x+1}{x-2} $

Cas (1) :
On a $ I = [-4,2] $ et $ f(x) = x^2 $.

La fonction carré est continue sur $ \mathbb{R} $, donc elle est continue sur l'intervalle $ I $.

Pour déterminer l'image de $ I $, il suffit de calculer les valeurs de $ f $ aux bornes de l'intervalle ainsi qu'aux points où la dérivée s'annule.

\[ f'(x) = 2x. \]

Ainsi, le point critique dans $ I $ est $ x=0 $.

On obtient alors :

$ f(-4) = 16 $
$ f(0) = 0 $
$ f(2) = 4 $

Donc : $ f([-4,2]) = [0,16] $.

Cas (2) :
On a $ I = [-4,1] $ et $ f(x) = \dfrac{x+1}{x-2} $.

La fonction $ f $ est définie sur $ \mathbb{R}\setminus\{2\} $ et elle est rationnelle, donc continue sur $ I $.

On calcule la dérivée :

f'(x) = \frac{-3}{(x-2)^2}.

Comme $ (x-2)^2 > 0 $ pour tout $ x\in I $, on a $ f'(x)<0 $.
Donc $ f $ est strictement décroissante sur $ I $.

On calcule :

f(-4) = \tfrac{-4+1}{-4-2} = \tfrac{-3}{-6} = \tfrac{1}{2}, \qquad f(1) = \tfrac{1+1}{1-2} = \tfrac{2}{-1} = -2.

Donc : $ f([-4,1]) = [-2, \tfrac{1}{2}] $.

Exercice 10: Théorème des Valeurs Intermédiaires

Montrez que l'équation $ x^5 - 3x + x^2 - 1 = 0 $ admet au moins une solution dans l'intervalle $[0,3]$.

Posons $ f(x) = x^5 - 3x + x^2 - 1 $.
La fonction $ f(x) $ est une fonction polynomiale, donc continue sur $ \mathbb{R} $, et en particulier sur l'intervalle $[0,3]$.

f(0) = -1, \quad f(3) = 3^5 - 3\cdot3 + 3^2 - 1 = 243 - 9 + 9 - 1 = 242

Puisque $ f(0) \cdot f(3) < 0 $,
alors, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation admet au moins une solution dans l'intervalle $[0,3]$.

Continuité d'une fonction numérique - 2BAC

Exercices Corrigés

1. Limite à droite en \( x = 2 \) (pour \( x > 2 \)) :

2. Limite à gauche en \( x = 2 \) (pour \( x < 2 \)) :

3. Conclusion :