Exercices avec Solutions

Continuité d'une fonction numerique -2BAC

Exercices Corrigés

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Exercice 1: Continuité en un point
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Soit \( f \) la fonction numérique définie par :

\[ f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2 - 9}{x - 3} & \text{si } x \neq 3, \\ 6 & \text{si } x = 3. \end{cases} \]

Étudier la continuité de \( f \) en \( 3 \).

On a \( f(3) = 6 \).

Calculons la limite de \( f(x) \) lorsque \( x \) tend vers \( 3 \) :

\[ \lim_{x \to 3} f(x) = \lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3} = \lim_{x \to 3} \frac{(x - 3)(x + 3)}{x - 3} = \lim_{x \to 3} (x + 3) = 6. \]

Puisque \( \lim_{x \to 3} f(x) = f(3) \), la fonction \( f \) est continue en \( 3 \).

\[ \boxed{f \text{ est continue en } 3} \]
Exercice 2: Continuité en un point
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Soit \( f \) la fonction numérique définie par :

\[ f(x) = \begin{cases} \dfrac{\sqrt{x+2} - x}{x - 2} & \text{si } x \neq 2, \\ -\dfrac{3}{4} & \text{si } x = 2. \end{cases} \]

Étudier la continuité de \( f \) en \( 2 \).

On a \( f(2) = -\dfrac{3}{4} \).

Calculons la limite de \( f(x) \) lorsque \( x \) tend vers \( 2 \). Pour \( x \neq 2 \), on rationalise l'expression :

\[ f(x) = \frac{\sqrt{x+2} - x}{x - 2} = \frac{(\sqrt{x+2} - x)(\sqrt{x+2} + x)}{(x - 2)(\sqrt{x+2} + x)} = \frac{(x+2) - x^2}{(x - 2)(\sqrt{x+2} + x)} = \frac{-x^2 + x + 2}{(x - 2)(\sqrt{x+2} + x)}. \]

Factorisons le numérateur :

\[ -x^2 + x + 2 = -(x^2 - x - 2) = -(x - 2)(x + 1). \]

Ainsi,

\[ f(x) = \frac{-(x - 2)(x + 1)}{(x - 2)(\sqrt{x+2} + x)} = \frac{-(x + 1)}{\sqrt{x+2} + x}, \quad \text{pour } x \neq 2. \]

Donc,

\[ \lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} \frac{-(x + 1)}{\sqrt{x+2} + x} = \frac{-(2 + 1)}{\sqrt{2+2} + 2} = \frac{-3}{2 + 2} = -\frac{3}{4}. \]

Puisque \( \lim_{x \to 2} f(x) = f(2) \), la fonction \( f \) est continue en \( 2 \).

\[ \boxed{f \text{ est continue en } 2} \]
Exercice 3: Continuité à Droite et à Gauche
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Soit \( f \) la fonction numérique définie par :

\[ f(x) = \begin{cases} x^3 + \sqrt{x} - 2 & \text{si } x \geq 0, \\ 1 - 3x & \text{si } x < 0. \end{cases} \]

Étudier la continuité de \( f \) en \( x_0 = 0 \).

On a \( f(0) = 0^3 + \sqrt{0} - 2 = -2 \).

Calculons les limites à gauche et à droite en \( 0 \) :

  • Limite à droite (pour \( x > 0 \)) : \[ \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (x^3 + \sqrt{x} - 2) = 0 + 0 - 2 = -2 = f(0). \] Ainsi, \( f \) est continue à droite en \( 0 \).
  • Limite à gauche (pour \( x < 0 \)) : \[ \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (1 - 3x) = 1 - 0 = 1. \] Or, \( \lim_{x \to 0^-} f(x) = 1 \neq f(0) = -2 \), donc \( f \) n'est pas continue à gauche en \( 0 \).

Puisque la limite à gauche n'est pas égale à \( f(0) \), la fonction \( f \) n'est pas continue en \( 0 \).

\[ \boxed{f \text{ n'est pas continue en } 0} \]
Exercice 4: Continuité à Droite et à Gauche
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Soit \( f \) la fonction définie sur \([-2; +\infty[\) par :

\[ f(x) = \begin{cases} \dfrac{\sqrt{x+2}-2}{|x-2|} & \text{si } x \neq 2, \\ \dfrac{1}{4} & \text{si } x = 2. \end{cases} \]

Étudier la continuité de la fonction \( f \) à gauche et à droite au point \( x_0 = 2 \).

Pour étudier la continuité de \( f \) en \( x_0 = 2 \), nous devons calculer les limites à gauche et à droite de \( f(x) \) lorsque \( x \) tend vers 2, et les comparer à \( f(2) = \frac{1}{4} \).

1. Limite à droite en \( x = 2 \) (pour \( x > 2 \)) :

Pour \( x > 2 \), on a \( |x - 2| = x - 2 \).

\[ f(x) = \frac{\sqrt{x+2} - 2}{x - 2}. \]

On a :

\[ \lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} \frac{(\sqrt{x+2} - 2)(\sqrt{x+2} + 2)}{(x - 2)(\sqrt{x+2} + 2)} = \lim_{x \to 2^+} \frac{(x+2) - 4}{(x - 2)(\sqrt{x+2} + 2)} = \lim_{x \to 2^+} \frac{x - 2}{(x - 2)(\sqrt{x+2} + 2)} = \lim_{x \to 2^+} \frac{1}{\sqrt{x+2} + 2} = \frac{1}{\sqrt{4} + 2} = \frac{1}{2 + 2} = \frac{1}{4}. \]

2. Limite à gauche en \( x = 2 \) (pour \( x < 2 \)) :

Pour \( x < 2 \), on a \( |x - 2| = 2 - x \).

\[ f(x) = \frac{\sqrt{x+2} - 2}{2 - x}. \]

On a :

\[ \lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} \frac{(\sqrt{x+2} - 2)(\sqrt{x+2} + 2)}{(2 - x)(\sqrt{x+2} + 2)} = \lim_{x \to 2^-} \frac{(x+2) - 4}{(2 - x)(\sqrt{x+2} + 2)} = \lim_{x \to 2^-} \frac{x - 2}{(2 - x)(\sqrt{x+2} + 2)} = \lim_{x \to 2^-} \frac{-(2 - x)}{(2 - x)(\sqrt{x+2} + 2)} = \lim_{x \to 2^-} \frac{-1}{\sqrt{x+2} + 2} = \frac{-1}{\sqrt{4} + 2} = \frac{-1}{2 + 2} = -\frac{1}{4}. \]

3. Conclusion :

  • \( \lim_{x \to 2^+} f(x) = \frac{1}{4} = f(2) \), donc \( f \) est continue à droite en \( 2 \).
  • \( \lim_{x \to 2^-} f(x) = -\frac{1}{4} \neq f(2) \), donc \( f \) n'est pas continue à gauche en \( 2 \).

Par conséquent, \( f \) n'est pas continue en \( 2 \) (car la limite à gauche n'est pas égale à \( f(2) \)).

Exercice 5: Continuité à Droite et à Gauche
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Soit \( f \) une fonction numérique définie par :

\[ f(x) = \begin{cases} 3x^2 + bx + 1 & \text{si } x < 1, \\ \sqrt{x - 1} + 2 & \text{si } x \geq 1, \end{cases} \quad \text{avec } b \in \mathbb{R}. \]

Déterminer la valeur de \( b \) pour que \( f \) soit continue en \( 1 \).

\( f \) est continue en \( 1 \) si et seulement si :

\[ \lim_{x \to 1^-} f(x) = f(1) = \lim_{x \to 1^+} f(x). \]

On a \( f(1) = \sqrt{1 - 1} + 2 = 0 + 2 = 2 \).

  • Limite à droite : \[ \lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (\sqrt{x - 1} + 2) = 0 + 2 = 2 = f(1). \]
  • Limite à gauche : \[ \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (3x^2 + bx + 1) = 3(1)^2 + b(1) + 1 = 3 + b + 1 = 4 + b. \]

Pour que \( f \) soit continue en \( 1 \), il faut que :

\[ 4 + b = 2 \quad \Rightarrow \quad b = -2. \]

Ainsi, \( f \) est continue en \( 1 \) si et seulement si \( b = -2 \).

\[ \boxed{b = -2} \]
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